Bezwładność cieplna grzałek
Post:04 lis 2014, 23:07
"Dlaczego grubszy drut dłużej mi się nagrzewa? Przecież ma mniejszą rezystancję..." oto jest pytanie zadawane co jakiś czas na forum... Na zdrowy rozum można na nie odpowiedzieć, że wynika to z większej masy takiego drutu i OK - logiczne. Ale ponieważ swój "zdrowy rozum" lubię jednak popierać cyferkami przysiadłem trochę do netu i książek i pokombinowałem jak to wyrazić matematycznie. No to do rzeczy:
Ponieważ rozważamy kwestie związane z nagrzewaniem, oddawaniem ciepła, itp. poruszać się będziemy w obrębie I Prawa Termodynamiki, gdzie możemy znaleźć np. definicję ciepła oddawanego określoną jako:
Ilość ciepła (dQ) pobierana lub oddawana przez ciało jednorodne [...] jest proporcjonalna do masy tego ciała (m) oraz zmiany temperatury (dT):
gdzie:
m - masa grzałki w kg,
dT - zmiana temperatury,
c - ciepło właściwe Kanthala (stała materiałowa, bez wnikania w szczegóły, do znalezienia w tablicach).
No to już wiemy jak wyznaczyć ile ciepła odda nam nasza grzałka. Ale żeby mogła je oddać trzeba ją najpierw rozgrzać Jak to policzyć? Tutaj z pomocą przychodzi nam prawo Joule'a-Lenza mówiące że:
Ilość ciepła wydzielanego w czasie przepływu prądu elektrycznego przez przewodnik elektryczny jest wprost proporcjonalna do iloczynu oporu elektrycznego przewodnika, kwadratu natężenia prądu i czasu jego przepływu:
tutaj chyba nie muszę opisywać wielkości.
Czyli mamy w ten sposób ilość ciepła doprowadzoną do grzałki wyrażoną za pomocą jakże nam bliskich wielkości czyli prądu i rezystancji.
No i teraz wiedząc, że:
W układzie izolowanym cieplnie całkowite ciepło pobrane przez ciała o temperaturze niższej jest równe całkowitemu ciepłu oddanemu przez ciała o temperaturze wyższej.
(Teraz fizycy i chemicy pewnie zgrzytają zębami bo układ grzewczy w parowniku daleki jest od "układu izolowanego cieplnie", ale na nasze potrzeby dopuszczalna jest taka profanacja, ponieważ robimy analizę porównawczą).
możemy sobie stworzyć równanie bilansu cieplnego dla naszego druta - oczywiście będzie ono wyglądało tak:
Powyższym równaniem można teraz do woli żonglować, ale nas interesuje szybkość nagrzewania, tak więc:
(jednostki się zgadzają - wynik dostajemy w sekundach)
Jeśli chodzi o ciepło właściwe (c) Kanthala to w sumie nie mogłem go znaleźć ale wiedząc, że kanthal składa się w ~72% z żelaza (c=452) i w ~20% z chromu (c=450) ORAZ wiedząc, że to ciepło rośnie wraz z temperaturą (dla Fe wynosi około 600 przy 400 stopniach) do obliczeń przyjąłem, że ciepło właściwe Kanthala wynosi 550.
Co do masy to załączam tabelkę (dołożyłem też rezystancje 1 cm):
No i teraz przyjmujemy założenia:
a) grzałka ma 5 cm - 3 cm na zwoje + 2 na doprowadzenia do pinów,
b) wapujemy na mocy 20W,
c) przyjmujemy, że przyrost temperatury na grzałce (dT) ma wynieść 200 stopni,
i dla tych założeń sprawdzamy ile czasu potrwa nagrzanie o 200 stopni, mocą 20W, 5-centymetrowej grzałki wykonanej z:
* Kanthala 0.2mm:
* Kanthala 0.4mm:
Czyli widać, że przy mocy 20W nagrzanie o 200 stopni grubasa 0.4 mm trwa 4 razy dłużej niż cieniasa 0.2 mm.
I tym optymistycznym akcentem wracamy do tego co podpowiadał zdrowy rozum: TAK, bezwładność cieplna drutu wynika bezpośrednio z jego MASY.
UWAGI:
1. W powyższych rozważaniach poczyniłem sporo uproszczeń, które uważni analitycy mogą mi wytknąć, ale zakładam że całość w miarę trzyma się kupy
2. Wzór (3) można nieco przekształcić i użyć go do innych ciekawych wyliczeń
Ponieważ rozważamy kwestie związane z nagrzewaniem, oddawaniem ciepła, itp. poruszać się będziemy w obrębie I Prawa Termodynamiki, gdzie możemy znaleźć np. definicję ciepła oddawanego określoną jako:
Ilość ciepła (dQ) pobierana lub oddawana przez ciało jednorodne [...] jest proporcjonalna do masy tego ciała (m) oraz zmiany temperatury (dT):
gdzie:
m - masa grzałki w kg,
dT - zmiana temperatury,
c - ciepło właściwe Kanthala (stała materiałowa, bez wnikania w szczegóły, do znalezienia w tablicach).
No to już wiemy jak wyznaczyć ile ciepła odda nam nasza grzałka. Ale żeby mogła je oddać trzeba ją najpierw rozgrzać Jak to policzyć? Tutaj z pomocą przychodzi nam prawo Joule'a-Lenza mówiące że:
Ilość ciepła wydzielanego w czasie przepływu prądu elektrycznego przez przewodnik elektryczny jest wprost proporcjonalna do iloczynu oporu elektrycznego przewodnika, kwadratu natężenia prądu i czasu jego przepływu:
tutaj chyba nie muszę opisywać wielkości.
Czyli mamy w ten sposób ilość ciepła doprowadzoną do grzałki wyrażoną za pomocą jakże nam bliskich wielkości czyli prądu i rezystancji.
No i teraz wiedząc, że:
W układzie izolowanym cieplnie całkowite ciepło pobrane przez ciała o temperaturze niższej jest równe całkowitemu ciepłu oddanemu przez ciała o temperaturze wyższej.
(Teraz fizycy i chemicy pewnie zgrzytają zębami bo układ grzewczy w parowniku daleki jest od "układu izolowanego cieplnie", ale na nasze potrzeby dopuszczalna jest taka profanacja, ponieważ robimy analizę porównawczą).
możemy sobie stworzyć równanie bilansu cieplnego dla naszego druta - oczywiście będzie ono wyglądało tak:
Powyższym równaniem można teraz do woli żonglować, ale nas interesuje szybkość nagrzewania, tak więc:
(jednostki się zgadzają - wynik dostajemy w sekundach)
Jeśli chodzi o ciepło właściwe (c) Kanthala to w sumie nie mogłem go znaleźć ale wiedząc, że kanthal składa się w ~72% z żelaza (c=452) i w ~20% z chromu (c=450) ORAZ wiedząc, że to ciepło rośnie wraz z temperaturą (dla Fe wynosi około 600 przy 400 stopniach) do obliczeń przyjąłem, że ciepło właściwe Kanthala wynosi 550.
Co do masy to załączam tabelkę (dołożyłem też rezystancje 1 cm):
No i teraz przyjmujemy założenia:
a) grzałka ma 5 cm - 3 cm na zwoje + 2 na doprowadzenia do pinów,
b) wapujemy na mocy 20W,
c) przyjmujemy, że przyrost temperatury na grzałce (dT) ma wynieść 200 stopni,
i dla tych założeń sprawdzamy ile czasu potrwa nagrzanie o 200 stopni, mocą 20W, 5-centymetrowej grzałki wykonanej z:
* Kanthala 0.2mm:
* Kanthala 0.4mm:
Czyli widać, że przy mocy 20W nagrzanie o 200 stopni grubasa 0.4 mm trwa 4 razy dłużej niż cieniasa 0.2 mm.
I tym optymistycznym akcentem wracamy do tego co podpowiadał zdrowy rozum: TAK, bezwładność cieplna drutu wynika bezpośrednio z jego MASY.
UWAGI:
1. W powyższych rozważaniach poczyniłem sporo uproszczeń, które uważni analitycy mogą mi wytknąć, ale zakładam że całość w miarę trzyma się kupy
2. Wzór (3) można nieco przekształcić i użyć go do innych ciekawych wyliczeń